Elementos de didáctica para una propuesta de funciones en 2º ESO

Pablo Beltrán-Pellicer
@pbeltranp

21 de enero de 2020
IES Pilar Lorengar, Zaragoza.

Acceso a la presentación

https://pbeltran.github.io/unaempresadocente-videos

¿Qué dice el currículo?

1º ESO

BLOQUE 2: Funciones (1º ESO)

Contenidos

  • Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
  • El concepto de función: Variable dependiente e independiente. Formas de presentación (lenguaje habitual, tabla, gráfica, fórmula).
  • Funciones de proporcionalidad directa. Representación.

Criterios de evaluación (1º ESO) (CMCT)

  • Crit.MA.4.1. Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas.
  • Crit.MA.4.2. Manejar las distintas formas de presentar una función: lenguaje habitual, tabla numérica, gráfica y ecuación, pasando de unas formas a otras y eligiendo la mejor de ellas en función del contexto.
  • Crit.MA.4.3. Comprender el concepto de función. Reconocer, interpretar y analizar las gráficas funcionales.
  • Crit.MA.4.4. Reconocer, representar y analizar las funciones de proporcionalidad directa, utilizándolas para resolver problemas.

2º ESO

BLOQUE 2: Funciones (2º ESO)

Contenidos

  • Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
  • El concepto de función: Variable dependiente e independiente. Formas de presentación (lenguaje habitual, tabla, gráfica, fórmula). Crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. Análisis y comparación de gráficas.
  • Funciones lineales. Cálculo, interpretación e identificación de la pendiente de la recta. Representaciones de la recta a partir de la ecuación y obtención de la ecuación a partir de una recta.
  • Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas

Crit.MA.4.1 (2º ESO)

Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas (CMCT)

  • Est.MA.4.1.1. Localiza puntos en el plano a partir de sus coordenadas y nombra puntos del plano escribiendo sus coordenadas.

Crit.MA.4.2 (2º ESO)

Manejar las distintas formas de presentar una función: lenguaje habitual, tabla numérica, gráfica y ecuación, pasando de unas formas a otras y eligiendo la mejor de ellas en función del contexto.

  • Est.MA.4.2.1. Pasa de unas formas de representación de una función a otras y elige la más adecuada en función del contexto.

Crit.MA.4.3 (2º ESO)

Crit.MA.4.3. Comprender el concepto de función. Reconocer, interpretar y analizar las gráficas funcionales.

  • Est.MA.4.3.1. Reconoce si una gráfica representa o no una función.

3º ESO Académicas

BLOQUE 2: Funciones (3º ESO Ac.)

Contenidos

  • Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.
  • Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente.
  • Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y enunciados.
  • Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
  • Expresiones de la ecuación de la recta.
  • Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situaciones de la vida cotidiana.

Crit.MAAC.4.1 (3º ESO Ac.)

Conocer los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica. CMCT.

  • Est.MAAC.4.1.1. Interpreta el comportamiento de una función dada gráficamente y asocia enunciados de problemas contextualizados a gráficas.
  • Est.MAAC.4.1.2. Identifica las características más relevantes de una gráfica interpretándolas dentro de su contexto.
  • Est.MAAC.4.1.3. Construye una gráfica a partir de un enunciado contextualizado describiendo el fenómeno expuesto.
  • Est.MAAC.4.1.4. Asocia razonadamente expresiones analíticas a funciones dadas gráficamente.

Crit.MAAC.4.2 (3º ESO Ac.)

Identificar relaciones de la vida cotidiana y de otras materias que pueden modelizarse mediante una función lineal valorando la utilidad de la descripción de este modelo y de sus parámetros para describir el fenómeno analizado. CMCT-CIEE.

  • Est.MAAC.4.2.1. Determina las diferentes formas de expresión de la ecuación de la recta a partir de una dada (Ecuación punto pendiente, general, explícita y por dos puntos), identifica puntos de corte y pendiente, y la representa gráficamente.
  • Est.MAAC.4.2.2. Obtiene la expresión analítica de la función lineal asociada a un enunciado y la representa.
  • Est.MAAC.4.2.3. Formula conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica.

Crit.MAAC.4.3 (3º ESO Ac.)

Reconocer situaciones de relación funcional que necesitan ser descritas mediante funciones cuadráticas, calculando sus parámetros y características. CMCT-CD.

  • Est.MAAC.4.3.1. Calcula los elementos característicos de una función polinómica de grado dos y la representa gráficamente.
  • Est.MAAC.4.3.2. Identifica y describe situaciones de la vida cotidiana que puedan ser modelizadas mediante funciones cuadráticas, las estudia y las representa utilizando medios tecnológicos cuando sea necesario.

4º ESO Académicas

BLOQUE 2: Funciones (4º ESO Ac.)

Contenidos

  • Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica.
  • Análisis de resultados.
  • La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.
  • Reconocimiento de otros modelos funcionales: aplicaciones a contextos y situaciones reales.

Crit.MAAC.4.1 (4º ESO Ac.)

Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. CMCT-CCL.

  • Est.MAAC.4.1.1. Identifica y explica relaciones entre magnitudes que pueden ser descritas mediante una relación funcional y asocia las gráficas con sus correspondientes expresiones algebraicas
  • Est.MAAC.4.1.2. Explica y representa gráficamente el modelo de relación entre dos magnitudes para los casos de relación lineal, cuadrática, proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica, empleando medios tecnológicos, si es preciso.

Crit.MAAC.4.1 (4º ESO Ac.)

  • Est.MAAC.4.1.3. Identifica, estima o calcula parámetros característicos de funciones elementales.
  • Est.MAAC.4.1.4. Expresa razonadamente conclusiones sobre un fenómeno a partir del comportamiento de una gráfica o de los valores de una tabla.
  • Est.MAAC.4.1.5. Analiza el crecimiento o decrecimiento de una función mediante la tasa de variación media calculada a partir de la expresión algebraica, una tabla de valores o de la propia gráfica.
  • Est.MAAC.4.1.6. Interpreta situaciones reales que responden a funciones sencillas: lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, definidas a trozos y exponenciales y logarítmicas.

Crit.MAAC.4.2 (4º ESO Ac.)

Analizar información proporcionada a partir de tablas y gráficas que representen relaciones funcionales asociadas a situaciones reales obteniendo información sobre su comportamiento, evolución y posibles resultados finales. CMCT-CD-CAA.

  • Est.MAAC.4.2.1. Interpreta críticamente datos de tablas y gráficos sobre diversas situaciones reales.
  • Est.MAAC.4.2.2. Representa datos mediante tablas y gráficos utilizando ejes y unidades adecuadas.

Crit.MAAC.4.2 (4º ESO Ac.)

  • Est.MAAC.4.2.3. Describe las características más importantes que se extraen de una gráfica señalando los valores puntuales o intervalos de la variable que las determinan utilizando tanto lápiz y papel como medios tecnológicos.
  • Est.MAAC.4.2.4. Relaciona distintas tablas de valores y sus gráficas correspondientes.

3º ESO Aplicadas

BLOQUE 2: Funciones (3º ESO Ap)

Contenidos

  • Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.
  • Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente.
  • Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional mediante tablas y enunciados.
  • Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
  • Expresiones de la ecuación de la recta.
  • Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situaciones de la vida cotidiana.

Cri.MAAP.4.1 (3º ESO Ap)

Conocer los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica. CMCT-CSC.

  • Est.MAAP.4.1.1. Interpreta el comportamiento de una función dada gráficamente y asocia enunciados de problemas contextualizados a gráficas.
  • Est.MAAP.4.1.2. Identifica las características más relevantes de una gráfica, interpretándolas dentro de su contexto.
  • Est.MAAP.4.1.3. Construye una gráfica a partir de un enunciado contextualizado describiendo el fenómeno expuesto.
  • Est.MAAP.4.1.4. Asocia razonadamente expresiones analíticas sencillas a funciones dadas gráficamente.

Cri.MAAP.4.2 (3º ESO Ap)

Identificar relaciones de la vida cotidiana y de otras materias que pueden modelizarse mediante una función lineal valorando la utilidad de la descripción de este modelo y de sus parámetros para describir el fenómeno analizado. CMCT.

  • Est.MAAP.4.2.1. Determina las diferentes formas de expresión de la ecuación de la recta a partir de una dada (ecuación punto-pendiente, general, explícita y por dos puntos) e identifica puntos de corte y pendiente, y las representa gráficamente.
  • Est.MAAP.4.2.2. Obtiene la expresión analítica de la función lineal asociada a un enunciado y la representa.

Cri.MAAP.4.3 (3º ESO Ap)

Reconocer situaciones de relación funcional que necesitan ser descritas mediante funciones cuadráticas, calculando sus parámetros y características. CMCT-CD-CAA.

  • Est.MAAP.4.3.1. Representa gráficamente una función polinómica de grado dos y describe sus características.
  • Est.MAAP.4.3.2. Identifica y describe situaciones cotidianas que pueden ser modelizadas mediante funciones cuadráticas, las estudia y las representa utilizando medios tecnológicos cuando sea necesario.

4º ESO Aplicadas

BLOQUE 2: Funciones (4º ESO Ap)

Contenidos

  • Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica.
  • Estudios de otros modelos funcionales y descripción de sus características, usando el lenguaje matemático apropiado. Aplicación en contextos reales.
  • La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.

Crit.MAAP.4.1 (4º ESO Ap)

Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas. Aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica.

  • Est.MAAP.4.1.1. Est.MAAP.4.1.2 Identifica y explica relaciones entre magnitudes que pueden ser descritas mediante una relación funcional (lineal, cuadrática, proporcionalidad inversa y exponencial), asociando las gráficas con sus correspondientes expresiones algebraicas.

Crit.MAAP.4.1 (4º ESO Ap)

  • Est.MAAP.4.1.3. Identifica, estima o calcula elementos característicos de estas funciones (cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad).
  • Est.MAAP.4.1.4. Expresa razonadamente conclusiones sobre un fenómeno, a partir de la gráfica que lo describe o de una tabla de valores.

Crit.MAAP.4.1 (4º ESO Ap)

  • Est.MAAP.4.1.5. Analiza el crecimiento o decrecimiento de una función mediante la tasa de variación media, calculada a partir de la expresión algebraica, una tabla de valores o de la propia gráfica.
  • Est.MAAP.4.1.6. Interpreta situaciones reales que responden a funciones sencillas: lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa y exponenciales.

Cri.MAAP.4.2 (4º ESO Ap)

Analizar información proporcionada a partir de tablas y gráficas que representan relaciones funcionales asociadas a situaciones reales, obteniendo información sobre su comportamiento, evolución y posibles resultados finales.

  • Est.MAAP.4.2.1. Interpreta críticamente datos de tablas y gráficos sobre diversas situaciones reales.
  • Est.MAAP.4.2.2. Representa datos mediante tablas y gráficos utilizando ejes y unidades adecuadas.

Cri.MAAP.4.2 (4º ESO Ap)

  • Est.MAAP.4.2.3. Describe las características más importantes que se extraen de una gráfica utilizando tanto lápiz y papel como medios informáticos.
  • Est.MAAP.4.2.4. Relaciona distintas tablas de valores y sus gráficas correspondientes en casos sencillos, justificando y argumentando la decisión.
  • Est.MAAP.4.2.5. Utiliza con destreza elementos tecnológicos específicos para dibujar gráficas.

Hablemos sobre funciones

No es algo tan fácil

La construcción del concepto de función es un proceso largo y difícil para el alumnado. Involucra diferentes aspectos:

  • Obtener o presentar información.
  • Resaltar una tendencia en la evolución de una magnitud.
  • Hacer predicciones a corto plazo.
  • Analizar la existencia de una relación entre dos variables.

Se puede (debe) hacer una aproximación “informal” a las funciones en las primeras fases de obtención, interpretación y comunicación de información.

Formas de presentar una función

Una función puede presentarse:

  • Descripciones verbales (orales o escritas)
  • Representaciones gráficas
  • Tablas
  • Fórmulas o expresiones algebraicas

No hacen falta fórmulas ni expresiones algebraicas para introducir las características globales (tendencia, periodicidad, etc.), y locales de las funciones (extremos, cortes, etc.).

Representaciones gráficas y verbales

  • Están presentes en muchas situaciones corrientes en las que se intercambia información. Podemos usar en clase gráficas tomadas de Internet.
  • El estudio de gráficas reales pone de manifiesto conceptos que en abstracto son difíciles de comprender.
  • El enfoque verbal y gráfico es más asequible para los alumnos. Permite dedicarse a las ideas fundamentales (conceptos) y no simplemente al cálculo.

Representaciones gráficas y verbales

  • Un tratamiento cualitativo centrado en las características globales de las gráficas.
  • Un acercamiento reflexivo y con significado a los aspectos cuantitativos:
    • Representación de puntos.
    • Elección y efecto de la escala en los ejes.
    • Dibujo de curvas a partir de tablas de valores.
    • Etc.

Actividades y recursos: el libro del Shell Centre

Estos materiales sirven para ayudar a los alumnos a desarrollar fluidez en la utilización del lenguaje matemático de gráficas, tablas y álgebra de cara a describir y analizar situaciones del mundo real.

Ambiente de clase

Las tareas planteadas y la forma de hacer matemáticas contribuyen a crear un ambiente en clase que anime a una discusión meditada en la que los alumnos intenten comprender o comunicar información.

Estructura del libro

  • Unidad A: se aborda la interpretación y bosquejo de los gráficas. Se centra en el estudio cualitativo de las mismas basado en la interpretación de sus características globales.
  • Unidad B: se descubren y exploran situaciones realistas, centrándose en la búsqueda de patrones y su expresión en forma verbal, gráfica y finalmente algebraica.
  • Modelos de preguntas de examen.
  • Una colección de problemas (problemas y gráficas y otros datos para interpretar).
  • Materiales de apoyo. Sobre la forma de trabajar o la evaluación.

Unidad A

Nivel propuesto
A1. Interpretación de puntos. ESO1
A2. ¿Son las gráficas solamente dibujos? ESO1
A3. Dibujo de gráficas a partir de textos.
A4. Diseño de gráficas a partir de dibujos.
A5. Mirando gradientes.

Unidad B

Nivel propuesto
B1. Realización de gráficas a partir de tablas.
B2. Descubriendo funciones en situaciones.
B3. Funciones exponenciales. 4º ESO
B4. Una función de varias variables.

Dificultades

Leinhardt, Zaslavsky, and Stein (1990):

  1. Confundir la pendiente con la altura.
  2. Confundir intervalo y punto.
  3. Considerar un gráfico como si fuese una imagen o un mapa.
  4. Concebir el gráfico como si estuviese hecho de puntos discretos.

Creencias sobre las matemáticas y su enseñanza

Visión de las matemáticas

  • El proceso de enseñanza y aprendizaje es una negociación de significados.
    • Significado personal.
    • Significado de referencia, institucional.

¿Qué visión de las matemáticas queremos transmitir?

Creencias sobre la enseñanza de las matemáticas

Hay un consenso en que la resolución de problemas debería ser el eje central de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Acerca de ello, hay que considerar tres perspectivas:

  • Enseñar para resolver problemas.
  • Enseñar a través de la resolución de problemas.
  • Enseñar sobre resolución de problemas.

Para indagar un poquito sobre esto: Gaulin (2001)

A través de la resolución de problemas

¿El objetivo general de usar la RP en el aula de matemáticas debería ser enseñar la RP per se, o enseñar contenido matemático, usando la RP como vehículo?

  • Autores como Anderson (2014) atribuyen el bajo desempeño en RP de los estudiantes al tratamiento tradicional de la RP en el aula, independiente y aislado del desarrollo de ideas, procesos y conceptos matemáticos básicos.
  • La RP a menudo toma la forma de problemas de aplicación al final de cada lección, presumiblemente para promover la capacidad de aplicar lo aprendido. Así rara vez se cumple el propósito de enseñar a resolver problemas o desarrollar o profundizar el conocimiento de ese contenido (Anderson, 2014).

A través de la resolución de problemas

  • Pero la atención (limitada) de la investigación sobre cómo se puede lograr el desarrollo de los conceptos a través de la RP indica que a la RP no se le ha dado un papel central en el plan de estudios, sino que se ha llevado a la periferia (Rigelman, 2013).
  • Se necesitan más estudios que exploren si ambas metas pueden lograrse a la vez, examinando el impacto del desarrollo conceptual impulsado por problemas en el desarrollo de competencias para la resolución de problemas (Lester y Charles, 2003; Schoen y Charles, 2003).

Si bien los estudios más recientes favorecen la RP como un medio para desarrollar la comprensión del contenido matemático en lugar de un fin en sí mismo, el debate está lejos de resolverse.

English, L. D., & Gainsburg, J. (2016). Problem Solving in a 21st-Century Mathematics Curriculum. En L. D. English, & D. Kirshner (Eds.), Handbook of International Research in Mathematics Education, pp. 313-335. Routledge.

Créditos y referencias

Lista de referencias

Beltrán-Pellicer, P., Giacomone, B., & Burgos, M. (2018). Online educational videos according to specific didactics: the case of mathematics / Los vídeos educativos en línea desde las didácticas específicas: el caso de las matemáticas. Cultura y Educación, 30(4), 633-662. doi: 10.1080/11356405.2018.1524651. Enlace

Beltrán-Pellicer, P., Godino, J. D. (2019). An onto-semiotic approach to the analysis of the affective domain in mathematics education. Cambridge Journal of Education, 1-20. DOI: 10.1080/0305764X.2019.1623175. Enlace

Créditos

Compartir el conocimiento de forma libre es una buena práctica.

En estas diapositivas se han utilizado materiales disponibles en abierto y se han citado las fuentes correspondientes. El contenido de la presentación está publicado con licencia Creative Common CC-BY-SA-4.0, lo que quiere decir que puedes compartirla y adaptarla, citándonos (Pablo Beltrán-Pellicer y José Mª Muñoz-Escolano) y poniendo un enlace a https://pbeltran.github.io/unaempresadocente-videos/.

Siéntete libre de trabajar con este material y de contactar conmigo para compartir tus reflexiones.

Presentación realizada con Reveal.js, Pandoc, MathJax y Markdown. El código fuente está disponible en https://github.com/pbeltran/unaempresadocente-videos

La fuente de las imágenes es propia, salvo las que se ha citado la fuente en su diapositiva y las de dominio público obtenidas en Unsplash.